E.1 Nghiệm giải tích đàn hồi dạng đóng cho hầm trong đá
Như đã trình bày trong Mục 6.6.2, trạng thái ứng suất do đào hầm có thể được tính toán từ các nghiệm giải tích hoặc bằng phân tích số. Nghiệm đàn hồi dạng đóng của Kirsch là một trong những nghiệm giải tích được sử dụng phổ biến và được trình bày trong Hình E-1. Nghiệm dạng đóng này bị giới hạn cho các dạng hình học và mô hình vật liệu đơn giản, do đó thường có giá trị thực tiễn hạn chế. Tuy nhiên, nghiệm này được xem là một công cụ tốt để “kiểm tra nhanh tính hợp lý” của các kết quả thu được từ phân tích số.
\begin{aligned} \end{aligned}
\(\qquad \qquad \qquad
\sigma_r=\dfrac{P_1+P_2}{2}\left(1-\dfrac{a^2}{r^2}\right)
+\dfrac{P_1-P_2}{2}\left(1-\dfrac{4a^2}{r^2}+\dfrac{3a^4}{r^4}\right)\cos2\theta
\)
\(\qquad \qquad \qquad
\sigma_\theta=\dfrac{P_1+P_2}{2}\left(1+\dfrac{a^2}{r^2}\right)
-\dfrac{P_1-P_2}{2}\left(1+\dfrac{3a^4}{r^4}\right)\cos2\theta
\)
\(\qquad \qquad \qquad
\tau_{r\theta}=
-\dfrac{P_1-P_2}{2}
\left(1+\dfrac{2a^2}{r^2}-\dfrac{3a^4}{r^4}\right)\sin2\theta
\)
Trong đó:
- \(\sigma_r\): ứng suất hướng tâm
- \(\sigma_\theta\): ứng suất tiếp tuyến (vòng)
- \(\tau_{r\theta}\): ứng suất cắt
- \(P_1, P_2\): ứng suất chính xa hầm
- \(a\): bán kính hầm
- \(r\): khoảng cách từ tâm hầm
- \(\theta\): góc cực tọa độ
Mục 6.6.2 cũng mô tả các nghiệm giải tích phổ biến khác do Hoek và cộng sự (1995), Bischoff và Smart (1977), và Brady & Brown (1985) đề xuất.
Các nghiệm giải tích dùng để tính độ cứng chống đỡ và áp lực chống đỡ lớn nhất cho bê tông/bê tông phun, vì chống thép, và neo đá/cáp neo không bơm vữa được neo giữ bằng cơ học hoặc hóa học được tóm tắt trong Bảng E-1.
Bảng E-1 Các nghiệm giải tích để xác định độ cứng chống đỡ và áp lực chống đỡ lớn nhất cho các hệ chống đỡ khác nhau (Brady & Brown, 1985)
Hệ chống đỡ
Độ cứng chống đỡ (K) và áp lực chống đỡ lớn nhất (\(P_{max}\))
Vỏ hầm bê tông/bê tông phun
(Concrete /Shotcrete lining)
\[
K=\frac{E_c\left[r_i^2-(r_i-t_c)^2\right]}
{(1+\nu_c)\left[(1-2\nu_c)r_i^2+(r_i-t_c)^2\right]}
\]
\[
P_{\max}=\frac{\sigma_{cc}}{2}
\left[1-\frac{(r_i-t_c)^2}{r_i^2}\right]
\]
Bộ chống thép bị chèn kẹt
(Blocked steel sets)
\[
\frac{1}{K} = \frac{Sr_i}{E_sA_s}
+
\frac{Sr_i^3}{E_sI_s}
\left[
\frac{\theta(\theta+\sin\theta\cos\theta)}
{2\sin^2\theta}
\right]
+
\frac{2S\theta t_B}{E_BW^2}
\]
\[
P_{\max} = \frac{3A_sI_s\sigma_{ys}}
{2Sr_i\theta{3I_s+XA_sr_i-(t_B+0.5X)}}
\]
Bu lông neo đá hoặc cáp neo cơ học/hóa học chưa bơm vữa
(Ungrouted mechanically or chemically anchored rock bolts or cables)
\[
\frac{1}{K} = \frac{s_c s_l}{r_i}
\left(
\frac{4l}{\pi d_b^2 E_b} + Q
\right)
\]
\[
P_{\max} = \frac{T_{bf}}{s_c s_l}
\]
KÝ HIỆU:
\(K\) = độ cứng chống đỡ; \(P_{max}\) = áp lực chống đỡ lớn nhất; \(E_c\) = mô đun Young của bê tông; \(t_c\) = chiều dày vỏ hầm; \(r_i\) = bán kính trong của hầm; \(\sigma_{cc}\) = cường độ chịu nén một trục của bê tông hoặc bê tông phun; \(W\) = chiều rộng cánh của vì chống thép và chiều dài cạnh của khối vuông; \(X\) = chiều sâu tiết diện của vì chống thép; \(A_s\) = diện tích mặt cắt ngang của vì chống thép; \(I_s\) = mô men quán tính tiết diện của vì chống thép; \(E_s\) = mô đun Young của thép; \(\sigma_{ys}\) = giới hạn chảy của thép; \(S\) = khoảng cách vì chống thép dọc theo trục hầm; \(\theta\) = nửa góc giữa các điểm chèn blocking, tính bằng radian; \(t_B\) = chiều dày khối chèn; \(E_B\) = mô đun Young của vật liệu chèn; \(l\) = chiều dài tự do của neo hoặc cáp neo; \(d_b\) = đường kính neo hoặc đường kính cáp tương đương; \(E_b\) = mô đun Young của neo hoặc cáp; \(T_{bf}\) = tải trọng phá hoại tới hạn trong thí nghiệm kéo tuột; \(s_c\) = khoảng cách neo theo chu vi; \(s_l\) = khoảng cách neo theo phương dọc; \(Q\) = hằng số tải trọng–biến dạng của neo và đầu neo.
E.2 Nghiệm giải tích đàn hồi dạng đóng cho tương tác đất nền – hệ chống đỡ
Các nghiệm giải tích cho tương tác đất nền – hệ chống đỡ đối với hầm trong đất đã có trong tài liệu. Các nghiệm này dựa trên giả thiết bài toán hai chiều, biến dạng phẳng, đàn hồi tuyến tính, trong đó vỏ hầm được giả định đặt ở độ sâu lớn và tiếp xúc với đất nền, không có khe hở; tức là các nghiệm không xét sự hình thành khe hở giữa hệ chống đỡ và đất nền.
Thông tin nền tảng của các mô hình dạng đóng thông dụng được trình bày trong Phụ lục B của FHWA Tunnel Design Guidelines (2004), và được trình bày lại ở Mục E.3 để tiện tham khảo.
Các nghiệm giải tích ban đầu của Burns và Richard (1964), Dar và Bates (1974), và Hoeg (1968) được xây dựng cho trường hợp tải do áp lực ngoài, trong khi các nghiệm của Morgan (1961), Muir Wood (1975), Curtis (1976), Rankin, Ghaboussi và Hendron (1978), và Einstein và cộng sự (1980) dành cho trường hợp tải do đào hầm.
Các nghiệm có sẵn cho cả điều kiện trượt hoàn toàn và không trượt tại mặt tiếp xúc giữa đất nền và vỏ hầm. Phụ lục E trình bày các nghiệm giải tích đã công bố trong Bảng E-2. Một phân tích mẫu được trình bày trong Bảng E-3 để minh họa việc áp dụng các nghiệm dạng đóng khác nhau cho một hầm tròn đường kính 22 ft có vỏ hầm bê tông dày 1.5 ft. Hầm nằm ở độ sâu 105 ft tính từ mặt đất đến springline, và mực nước ngầm nằm thấp hơn mặt đất 10 ft. Chi tiết các thông số đầu vào được thể hiện trong Bảng E-3a. Các tải trọng vỏ hầm tính được từ các nghiệm giải tích khác nhau được trình bày trong Bảng E-3b.
| Nghiệm giải tích | Lực dọc | Moment | |
|---|---|---|---|
| Wu & Perzian (1997) | Relaxation (Giảm ứng suất) |
Crown = Pd + Ps + Pw Springline = Pd + Pw − Ps Pd = −0.5 · (1 + k0) · (1/(1 + C)) · (h · γm − hw · γw) · (d/2) Ps = 0.5 · (1 − k0) · (1/(1 + F)) · (h · γm − hw · γw) · (d/2) Pw = −(1/(1 + C)) · hw · γw · (d/2) |
= (−1/4) · (1 − k0) · (1/(1 + F)) · (h · γs − hw · γw) · (d/2)2 |
| Overburden (Tải trọng đất phủ) |
Crown = Pd + Ps + Pw Springline = Pd + Pw − Ps Pd = −(1 + k0) · (1 − νm) / (1 + C) · (h · γs − hw · γw) · (d/2) Pw = −(1/(1 + C)) · hw · γw · (d/2) Ps = (2 · (1 − k0) · (1 − νm)) / ((3 − 4νm) · (1 + F)) · (h · γm − hw · γw) · (d/2) |
= −(1 − k0) · (1 − νm) / ((3 − 4νm) · (1 + F)) · (h · γm − hw · γw) · (d/2)2 | |
| Einstein & Schwartz (1979) | Excavation full slip (Đào hầm, trượt hoàn toàn) |
Crown = [0.5 · (1 + k0) · (1 − a0) − (0.5 · (1 + k0) · (1 − 2a2))] · (γm · h · d/2) Springline = [0.5 · (1 + k0) · (1 − a0) + (0.5 · (1 + k0) · (1 − 2a2))] · (γm · h · d/2) |
= −0.5 · (1 − k0) · (1 − 2a2) · (γ · h · (d/2)2) |
| Excavation no slip (Đào hầm, không trượt) |
Lực dọc tại Crown = [0.5 · (1 + k0) · (1 − a0) − (0.5 · (1 − k0) · (1 + 2a4))] · (γm · h · D/2) Lực dọc tại Springline = [0.5 · (1 + k0) · (1 − a0) + (0.5 · (1 − k0) · (1 + 2a4))] · (γm · h · D/2) |
= −[0.25 · (1 − k0) · (1 − 2 · h + 2 · b2) · (γ · h · (D/2)2)] | |
|
a0 = C · F · (1 − νm) /
(F + C + (C · F · (1 − νm))) a2 = (F + 6) · (1 − νm) / (2 · F · (1 − νm) + (6 · (5 − 6νm))) a4 = β · b2 β = ((F + 6) · (1 − νm) + (2 · F · C)) / (3 · F + 3 · C + 2 · C · F · (1 − νm)) b2 = [C · (1 − νm)] / [2 · (C · (1 − νm) + 4νm − 6β − 3 · β · C · (1 − νm))] C = [(d/2) · Em · (1 − νL2)] / [EL · (AL/wL) · (1 − νm2)] F = [(d/2)3 · Em · (1 − νL2)] / [EL · I · (1 − νm2)] |
|||
| Peck, Hendron & Moharaz (1972) overburden |
Lực dọc tại Crown = 0.5 · [(1 + k0) · b1 − 0.3333 · (1 − k0) · b2] · γs · h · (d/2) Lực dọc tại Springline = 0.5 · [(1 + k0) · b1 + 0.3333 · (1 − k0) · b2] · γs · h · (d/2) |
= (1 − k0) · b2 · γs · h · (d/2)2 / 6 | |
|
b1 = 1 − a1
b2 = 1 + 3a2 − 4a3 a1 = (1 − 2νm) · (C − 1) / ((1 − 2νm) · C + 1) a2 = ((2 · F) + 1 − 2νm) / (2 · F + 5 − 6νm) a3 = (2 · F) / (2 · F + 5 − 6νm) |
|||
| Rankin, Ghaboussi và Hendron (1978) | Áp lực ngoài (không trượt) |
Lực dọc tại Crown = (γ · h · (d / 2)) · (((1 + k0) · (1 − Ln)) − ((1 − k0) · (1 + Jn))) Lực dọc tại Springline = (γ · h · (d / 2)) · (((1 + k0) · (1 − Ln)) + ((1 − k0) · (1 + Jn))) |
Moment tại Crown = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (1 − 2νm) · (C / (6F)) · (1 − Ln) − ((1 − k) / 2) · (1 − Jn − 2N)] Moment tại Springline = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (1 − 2νm) · (C / (6F)) · (1 − Ln) + ((1 − k) / 2) · (1 − Jn − 2N)] |
| Áp lực ngoài (trượt hoàn toàn) |
Lực dọc tại Crown = ((1 + k0) · (1 − Lf) − (1 − k0) · (1 − Jf)) · γ · h · (d / 4) Lực dọc tại Springline = ((1 + k0) · (1 − Lf) + (1 − k0) · (1 − Jf)) · γ · h · (d / 4) |
Moment tại Crown = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (1 − 2νm) · (C / (6F)) · (1 − Lf) − (1 − k) · (1 − J)] Moment tại Springline = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (1 − 2νm) · (C / (6F)) · (1 − Ln) + (1 − k) · (1 − J)] |
|
| Đào hầm (không trượt) |
Lực dọc tại Crown = ((1 + k0) · (1 − Ln*) − (1 − k0) · (1 − Jn*)) · γ · h · (d / 4) Lực dọc tại Springline = ((1 + k0) · (1 − Ln*) + (1 − k0) · (1 − Jn*)) · γ · h · (d / 4) |
Moment tại Crown = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (Ln* / (6F)) − (0.5 · (1 − k0) · (1 + J − N))] Moment tại Springline = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (Ln* / (6F)) + (0.5 · (1 − k0) · (1 + J − N))] |
|
| Đào hầm (trượt hoàn toàn) |
Lực dọc tại Crown = ((1 + k0) · (1 − Lf*) − (1 − k0) · (1 − 2Jf*)) · γ · h · (d / 4) Lực dọc tại Springline = ((1 + k0) · (1 − Lf*) + (1 − k0) · (1 − 2Jf*)) · γ · h · (d / 4) |
Moment tại Crown = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (Lf* / (6F)) − ((1 − k0) · (1 − 2J))] Moment tại Springline = (γ · h · (d / 2)2 / 2) · [(1 + k0) · (Lf* / (6F)) + ((1 − k0) · (1 − 2J))] |
|
|
Ln =
(1 − 2νm) · (C − 1) /
(1 + (1 − 2νm) · C) Jn = (1 − 2νm) · (1 − C) · F − (0.5 · (1 − 2νm) · C + 2) / [((3 − 2νm) + (1 − 2νm) · C) · F + (0.5 · (5 − 6νm)) · (1 − 2νm) · C + (6 − 8νm)] Nn = ((1 + (1 − 2νm) · C) · F − (0.5 · (1 − 2νm) · C) − 2) / [((3 − 2νm) + (1 − 2νm) · C) · F + (0.5 · (5 − 6νm)) · (1 − 2νm) · C + (6 − 8νm)] Lf = (1 − 2νm) · (C − 1) / (1 + (1 − 2νm) · C) Jf = (2 · F + (1 − 2νm)) / (2 · F + (5 − 6νm)) Nf = (2 · F − 1) / (2 · F + (5 − 6νm)) |
Ln* =
(1 − 2νm) · C /
(1 + (1 − 2νm) · C) Jn* = [(2νm + (1 − 2νm) · C) · F + (1 − νm) · (1 − 2νm) · C] / [((3 − 2νm) + (1 − 2νm) · C) · F + (0.5 · (5 − 6νm)) · (1 − 2νm) · C + (6 − 8νm)] Nn* = [(3 + 2 · (1 − 2νm) · C) · F + (0.5 · (1 − 2νm) · C)] / [((3 − 2νm) + (1 − 2νm) · C) · F + (0.5 · (5 − 6νm)) · (1 − 2νm) · C + (6 − 8νm)] Lf* = (1 − 2νm) · C / (1 + (1 − 2νm) · C) Jf* = (F + (1 − νm)) / (2 · F + (5 − 6νm)) Nf* = (4 · F + 1) / (2 · F + (5 − 6νm)) |
||
| Muir & Wood (1975) Excavation |
Lực dọc tại Crown = 1/3 · (σv − σH) · (d / 2) + (4/3) · λ · (deflection) / (d / 2) + (σv − σH) · (d / 2) Lực dọc tại Springline = 2/3 · k0 · (σv − σH) · (d / 2) + (2/3) · λ · (deflection) · (d / 2) + (σH) · (d / 2) |
= (σv − σH) / 62 · (d / 2)2 ·
η2 · Rs / (1 + Rs) η = (\(\phi\)ID + d) / (2d) |
|
| Full Slip |
k = (1 − νm) / ((1 − 2νm) · (1 + νm)) β = (Em / EL) · (d / 2 · η) / (AL / wL) η = (\(\phi\)ID + d) / (d / 2) \(\phi\)ID = (d / 2 − tL) · 2 λ = (3 · Em) / ((1 + νm) · (5 − 6νm) · d / 2) Q1 = (Em / EL) · (1 / (1 + νm)) · (η · (d / 2)3 / (12 · I)) Q2 = (Em / EL) · (1 / (1 + νm)) · ((d / 2)3 / (12 · I)) I = (wL · tL3) / (12 · wL) |
Rs =
(9 · EI) /
(λ · η3 · (d / 2)4) σH = σv · k0 + Hw · γw · (1 − k0) σv = γm · h + S |
|
| Curtis (1976) | Đào hầm Trượt hoàn toàn |
Lực dọc tại Crown = Nconstant − Nmax Lực dọc tại Springline = Nconstant + Nmax Nconstant = [(σv + σH) · d / 2] / [2 + (1 − k0) · 2 · k · β] Nmax = ((σv − σH) · d / 4) · (3 − 4νm) / (5 − 6νm + 4Q1) |
= −[1/2 · (σv − σH) · η2 · (d / 2)2] · (3 − 4νm) / (5 − 6νm + 4Q2) |
| Đào hầm Không trượt |
Lực dọc tại Crown = Nconstant − Nmax Lực dọc tại Springline = Nconstant + Nmax Nconstant = [(σv + σH) · d / 2] / [2 + (1 − k0) · 2 · k · β] Nmax = ((σv − σH) · d / 2) · [(1 + (2νmQ1)) · (3 − 4νm) · (1 + Q1)] |
= −[1/4 · (σv − σH) · η2 · (d / 2)2] · [1 + Q2 · (3 − 2νm)] | |
|
k = (1 − νm) / ((1 − 2νm) · (1 + νm)) β = (Em / EL) · (d / 2 · η) / (AL / wL) η = (\(\phi\)ID + d) / (d / 2) \(\phi\)ID = (d / 2 − tL) · 2 λ = (3 · Em) / ((1 + νm) · (5 − 6νm) · d / 2) Q1 = (Em / EL) · (1 / (1 + νm)) · (η · (d / 2)3 / (12 · I)) Q2 = (Em / EL) · (1 / (1 + νm)) · ((d / 2)3 / (12 · I)) I = (wL · tL3) / (12 · wL) |
|||
Ký hiệu
\(ν_m\) : Hệ số Poisson của đất nền
\(ν_L\) : Hệ số Poisson của vỏ hầm
\(E_m\) : Mô đun Young của đất nền
\(E_L\) : Mô đun Young của vỏ hầm
\(t_L\) : Chiều dày vỏ hầm
\(w_L\) : Chiều rộng vỏ hầm
\(A_L\) : Diện tích mặt cắt ngang của vỏ hầm
\(\gamma_m\) : Trọng lượng riêng của đất nền
\(\gamma_w\) : Trọng lượng riêng của nước
\(d\) : Đường kính hầm
\(I\) : Moment quán tính trên một đơn vị chiều dài
\(C\) : Tính nén
\(F\) : Độ mềm
\(k_0\) : Hệ số áp lực đất ngang
\(h\) : Độ sâu đến springline
\(h_w\) : Độ sâu đến mực nước ngầm
\(R_s\) : Hệ số độ cứng
\(S\) : Hoạt tải surcharge
Bảng E-3. Tính toán mẫu tải trọng vỏ hầm bê tông cho hầm tròn đường kính 22 ft trong đất
(a) Dữ liệu đầu vào
| Đặc tính vỏ hầm: | Đặc tính đất nền: | ||
|---|---|---|---|
| Chiều rộng = | 5 ft (1.52 m) | Mô đun đàn hồi, Em = | 2.03E+06 lb/ft2 (97.2 MPa) |
| Chiều dày, t = | 1.500 ft (0.457 m) | Hệ số Poisson, νm = | 0.41 |
| Cường độ chịu nén bê tông, f′c = | 5000 psi (34.5 MPa) | Trọng lượng riêng của đất, γ = | 130 lb/ft3 (20.4 kN/m3) |
| Mô đun đàn hồi, El = | 5.80E+08 lb/ft2 (27.8 GPa) | Trọng lượng riêng của nước, γw = | 62.4 lb/ft3 (9.81 kN/m3) |
| Đường kính ngoài (OD) = | 22 ft (6.71 m) | ||
| Hệ số Poisson, νl = | 0.25 | ||
| Số lượng mối nối = | 0 | ||
| Xác định lực dọc và moment cho: | |||
| Độ sâu đến springline = | 105 ft (32.0 m) | ||
| Độ sâu đến mực nước ngầm = | 95 ft (29.0 m) | ||
| Hệ số áp lực đất ngang, K0 = | 0.7 | ||
(b) Tải trọng vỏ hầm bê tông tính từ các lời giải giải tích khác nhau
| Lời giải giải tích | Lực dọc tại Crown/ft | Lực dọc tại Springline/ft | Moment/ft | |
|---|---|---|---|---|
|
Wu & Penzien Relaxation Overburden |
-129698 -131020 |
-132731 -136283 |
-15165 -26316 |
|
|
Einstein & Schwartz Đào hầm, trượt hoàn toàn Đào hầm, không trượt |
97536 108108 |
153444 142872 |
-54264 -50176 |
|
|
Peck, Hendron, & Moharaz Overburden |
139515 | 156634 | -94164 | |
|
Ranken, Ghaboussi, & Hendron Trường hợp áp lực ngoài 1 (không trượt) Trường hợp 2 (trượt hoàn toàn) Đào hầm Trường hợp 3 (không trượt) Trường hợp 4 (trượt hoàn toàn) |
117912 139514 108105 120554 |
178237 156635 142869 130420 |
Crown -84545 -91640 -48037 -52125 |
Springline 89593 96688 52315 56403 |
|
Muir-Wood Đào hầm, trượt hoàn toàn |
124377 | 137264 | -18055 | |
|
Curtis Đào hầm, trượt hoàn toàn Đào hầm, không trượt |
132119 125095 |
138192 145216 |
-25644 -23690 |
|
Hỗ trợ duy trì trang:
Tôi xây dựng trang này để chia sẻ các tài liệu kỹ thuật cốt lõi trong thiết kế hạ tầng giao thông.
Nếu bạn thấy nội dung hữu ích và muốn góp phần duy trì trang hoạt động bền vững, tôi rất trân trọng mọi sự ủng hộ.